Лечебный туризм
Понедельник, 06 января 2014 09:01

Лекции от Яндекса. Дискретный анализ и теория вероятностей

Автор 

Для тех, кому одного курса на праздники мало и кто хочет больше, продолжаем нашу серию курсов от Школы анализа данных Яндекса. Сегодня подошла очередь курса «Дискретный анализ и теория вероятностей» – даже более фундаментального, чем предыдущий. Но без него нельзя представить ещё большую часть современной обработки данных.

В рамках курса рассматриваются основные понятия и методы комбинаторного, дискретного и асимптотического анализа, теории вероятностей, статистики и на примере решения классических задач демонстрируется их применение.


Читает курс Андрей Райгородский. Доктор физико-математических наук. Профессор кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Заведующий кафедрой Дискретной математики ФИВТ МФТИ. Профессор и научный руководитель бакалавриата кафедры «Анализ данных» факультета инноваций и высоких технологий МФТИ. Руководитель отдела теоретических и прикладных исследований компании «Яндекс». (Ещё больше можно узнать в статье о нём на Википедии).

Лекция 1. Основы перечислительной комбинаторики


Числа сочетания (с повторениями и без повторений), числа размещения (с повторениями и без повторений), перестановки. Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты. Полиномиальная формула и полиномиальные коэффициенты. Формула включений и исключений.

Лекция 2. Обобщенная функция Мёбиуса и асимптотики


Простейшие комбинаторные тождества. Знакопеременные тождества. Использование формулы включений и исключений для доказательства тождеств. Функция Мёбиуса и формула обращения Мёбиуса. Подсчет числа циклических последовательностей. Элементарные оценки факториалов, биномиальных коэффициентов и пр. Понятие об энтропии. Неравенство Чернова. Формула Стирлинга (б/д). Асимптотики для биномиальных коэффициентов и пр.

Лекция 3. Деревья и унициклические графы


Основные понятия теории графов. Перечисление деревьев на n вершинах (формула Кэли): подход с производящими функциями; подход с использованием биекции между множеством деревьев и множеством размещений с повторениями (коды Прюфера). Изоморфизмы и автоморфизмы графов. Сводка результатов по перечислению графов.

Лекция 4. Разбиение чисел на слагаемые


Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Рекуррентные соотношения для функций разбиения. Харди-Рамануджана (б/д).

Лекция 5. Производящие функции и линейные рекуррентные соотношения


Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Степенные ряды и производящие функции. Применение степенных рядов и производящих функций для доказательства комбинаторных тождеств. Применение степенных рядов и производящих функций для решения рекуррентных соотношений. Числа Каталана, Стирлинга, Бернулли и др. Их применения.

Лекция 6. Хроматические числа графов и Кнезеровский граф


Хроматические числа графов. Гипотеза Кнезера. Теорема Ловаса.

Лекция 7. Классическое определение вероятности, схема Бернулли и их применение к числам Рамсея


Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Парадокс Бертрана. Условные вероятности. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. Случайные блуждания. Понятие о случайном графе. Перколяция. Метод Монте-Карло.

Лекции 8-9. Локальная лемма Ловаса. Теория вероятностей (часть 1, часть 2)


Числа Рамсея. Раскраски гиперграфов. Покрытие графов линейными лесами.

Лекция 10. Распределения случайных величин


Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Основные виды распределений: биномиальное, геометрическое, пуассоновское, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, показательное, гамма-распределение, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера и пр. Числовые характеристики распределений: математическое ожидание, дисперсия, моменты, факториальные моменты. Совместные распределения. Ковариация и корреляция. Независимость и некоррелированность случайных величин. Понятие о вариационном ряде. Распределения, математические ожидания, дисперсии и ковариации порядковых статистик.

Лекции 11-12. Предельные теоремы (часть 1, часть 2)


Неравенства Маркова и Чебышёва. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Закон больших чисел в форме Чебышёва. Закон больших чисел в форме Хинчина. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел. Предельные теоремы Муавра-Лапласа для схемы Бернулли (локальная и интегральная). Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Производящие и характеристические функции. Центральная предельная теорема (различные формулировки; доказательство только для случая независимых одинаково распределенных случайных величин).

Лекция 13. Размерность Вапника-Червоненкиса


Понятие о выборке и выборочном пространстве. Точечное оценивание параметров. Несмещенность, состоятельность и пр. Методы моментов и максимального правдоподобия. Доверительное оценивание. Методы построения доверительных интервалов.

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии